بررسی قوانین نیوتن با استفاده از ماشین آتوود

هدف آزمایش:
تحقیق قوانین نیوتن با استفاده از ماشین آتوود
تئوری آزمایش:
ماشین آتوود

ماشین آتوود یک دستگاه مکانیکی بسیار مفید است که بسته به نوع آن از یک یا دو قرقره و چند وزنه با جرمهای مختلف تشکیل شده است که این وزنه‌ها به وسیله نخهای غیر قابل ارتجاع از قرقره آویزان شده‌اند.

[cml_media_alt id='5169']ماشین آتوود[/cml_media_alt]

دید کلی
در تشریح کاربرد معادلات لاگرانژ ابتدا سیستمهای ساده مکانیکی مورد بحث قرار می‌‌گیرند. ماشین آتوود از جمله این سیستمهای ساده است. در حالت کلی ماشین آتوود بسته به تعداد قرقره‌ها در انواع مختلفی وجود دارد.
ماشین آتوود ساده
ماشین آتوود ساده از دو وزنه به جرمهای m_1 و m_2 که به وسیله یک رشته غیر قابل ارتجاع به طول L که از روی قرقره عبور کرده است و به یکدیگر متصل هستند، تشکیل شده است. این سیستم فقط دارای یک درجه آزادی است، یعنی چون فقط یک قرقره وجود دارد، لذا اگر مبدا مختصات را در نقطه آویز قرقره فرض کنیم، در این صورت حرکت هر دو وزنه را می‌‌توان با یک پارامتر مشخص نمود. همچنین چون تنها نیروی وارده، نیروی گرانشی ناشی از وزن دو وزنه است، لذا به دلیل پایستار بودن نیروی گرانشی حرکت پایا خواهد بود و به راحتی می‌‌توان از قانون بقا انرژی استفاده کرد. به این ترتیب شتاب حرکت سیستم با فرض اینکه درجه آزادی را با متغیر x نشان دهیم به صورت زیر خواهد بود:

 

 

[vip-members]

[cml_media_alt id='5156']Untitled[/cml_media_alt]
در عبارت فوق a شعاع قرقره است. به وضوح ملاحظه می‌‌شود که اگر m_1>m_2 باشد، m_1 با شتاب ثابت سقوط خواهد کرد
ماشین آتوود دوگانه
ساختمان ماشین آتوود دوگانه مانند ماشین آتوود ساده است، با این تفاوت که در این سیستم یکی از وزنه‌های ماشین آتوود ساده را با یک قرقره دیگر که دو وزنه متصل به وسیله نخ ثانویه‌ای را تحمل می‌‌کند، جایگزین می‌‌کنیم. بنابراین این سیستم دارای دو درجه آزادی خواهد بود. باز در این حالت نیز چون تنها نیروی خارجی نیروی پایستار گرانش است، لذا حرکت سیستم پایا خوهد بود و قانون بقای انرژی برقرار است.
حال اگر دو درجه آزادی سیستم را با متغیرهای x و x\prime نمایش دهیم، در این صورت معادلات حرکت که نشان دهنده شتاب سیستم نسبت به x و x\prime هستند، به صورت دو معادله حاصل می‌‌شوند. می‌‌توان این دو معادله را به صورت یک دستگاه معادلات حل نموده و شتاب نسبت به x و x\prime را به صورت جداگانه بکار برد.

کابرد ماشین آتوود
یکی از بارزترین کاربردهای ماشین آتوود در قرقره‌هایی است که به منظور بالا بردن وسایل سنگین به طبقات بالاتر ساختمانها مورد استفاده قرار می‌‌گیرند. اگر شخصی که از این وسایل استفاده می‌‌کند، به اصول مکانیکی این وسایل آشنا باشد، می‌‌تواند به راحتی و با اعمال نیروی اندک وسایل خیلی سنگین را تا ارتفاع زیاد بالا ببرد.

در مکانیک کلاسیک قوانین نیوتن از اهمیت زیادی برخوردارند و مبنای حل بسیاری از مسائل مکانیک کلاسیک می یاشند.در اینجا قوانین اول و دوم نیوتن را مورد بررسی قرار می دهیم:
الف) قانون اول نیوتن:هرگاه به جسمی نیرویی وارد نگردد و یا برآیند نیروهای وارد بر آن صفر باشد، چنانچه جسم در حال سکون بوده ساکن خواهد ماند و چنانچه جسم متحرک باشد حرکت آن مستثیم الخط خواهد بود.
ب) قانون دوم نیوتن:در صورتی که برآیند نیروهای وارد برجسم غیر صفر باشد، شتاب حاصله متناسب با برآیند نیروها بوده و ضریب تناسب را با (m) نشان داده که m همان جرم جسم است:

[cml_media_alt id='5157']1[/cml_media_alt]
برای تحقیق قوانین فوق از دسگاهی بنام ماشین آتوود استفاده می شود. این دستگاه تشکیل شده است از یک قرقره که به پایه ی دستگاه متصل شده و به دو طرف نخ آویزان از آن ، وزنه آویزان می شود.
به میله ی این دستگاه دو سکو برای توقف جسم و یک حلقه به منظور حذف سربار متصل است (شکل(1)). چنانچه به دوطرف نخ وزنه های مساوی (M) و علاوه برآن به طرف راست باری به جرم m آویزان شود، دستگاه از حال سکون خارج شده و حرکتی شتابدار انجام خواهد داد. که معادلات نیرو برای نخ در دوطرف قرقره به شرح زیر است:

[cml_media_alt id='5158']2[/cml_media_alt]

که پس از حذف Tداریم:

[cml_media_alt id='5159']3[/cml_media_alt]

معادله حرکت با توجه به قوانین نیوتن در حالتیکه F=0 برابر خواهد بود با:

[cml_media_alt id='5160']4[/cml_media_alt]

 

که حرکت جسم با سرعت ثابت بوده و داریم:

 

X= V0t  +    X0

و در حالت X0=0 :

X=V0t              or                         V=X/t                      (3 )

و در صورتی که داشته باشیم 0≠ΣF خواهیم داشت:

[cml_media_alt id='5161']5[/cml_media_alt]
و اگر در مبدا زمان، در مبدا مکان بوده وساکن باشد داریم:

[cml_media_alt id='5162']6[/cml_media_alt]
بدین ترتیب می توان مقادیرVo وa را در دو حالت فوق الذکر توسط روابط (3) و(4) با اندازه گیری مسافت طی شده و زمان طی مسافت بدست آورد و از آنجا روابط مربوط به قوانین نیوتن را تحقیق نمود.
از آنجاییکه نمی توان از نیروی اصطکاک چشم پوشی کرد لذا بایستی به طریقی اثر آنرا در محاسبات منظور نمود. بدین منظور ابتدا وزنه mʻ را برای خنثی کردن اثر اصطکاک به طرف راست می افزاییم تا حرکت یکنواخت ایجاد گردد. در این حالت شتاب صفر و حرکت وزنه ی طرف راست به سمت پایین می باشد و جهت مثبت محور را به طرف در نظر بگیریم داریم:

طرف راست : T+F-Mg-m’g=0

طرف چپ:  T-Mg=Ma

پس از حذف T داریم:

m’g-f=0

(5)                     f=m’g
حال چنانچه به طرف راست، سربار m را اضافه کنیم یکحرکت شتابدار خواهیم داشت:

[cml_media_alt id='5163']7[/cml_media_alt]

پس از حذفT وجایگزینی mʻg با f شتاب (a) بدست می آید:

a=mg/(m+m’+2M)                                      رابطه 6

وسایل آزمایش:

ماشین آتوود،تعدادی وزنه، سربار مخصوص، کورنومتر ، متر

شرح عملی آزمایش:

1)      تنظیم دستگاه: ابتدا به هر دوطرف وزنه 150 gr آویزان کرده و دستگاه را به گونه ای تنظیم شد که وزنه براحتی از حلقه عبور کرده ودر ودر حالت معمولی در حالت تعادل قرار گیرند. سپس به وزنه سمت راست به حدی وزنه اضافه شد که فقط با یک ضربه کوچک شروع به حرکت یکنواخت کند(برای از بین بردن اثر اصطکاک) که این مقدار در این آزمایش 5 gr ثبت شد.

2)      تحقیق قانون دوم نیوتن:

الف) برای اثبات ابتدا باید اندازه شتاب را بدست آورده می شد. بدین منظور یک وزنه ی 10 gr به سمت راست اضافه شد ودر سکوی بالایی قرار داده شد و به طور ناگهانی رها شد و هم زمان با آن کرنومتر شروع به کار کرد و زمان برخورد آنرا با سکوی پایین در جدول (1)  با مقدار فاصله آن ثبت شد و اینکار برای پنج فاصله متفاوت انجام شد. وشتاب نیز حساب در جدول یادداشت شد.

ب) قانون دوم نیوتن را به صورت زیر نیز نشان می دهند:

 [cml_media_alt id='5164']8[/cml_media_alt]

یعنی نیروی وارد بر یک سیستم به شتاب حاصل از آن همواره مقداریست ثابت که برابر جرم سیستم است.(جرم سیستم: مجموع جرم وزنه های دو طرف که در طول آزمایش ثابت است).

برای اثبات قانون دوم نیوتن از این رابطه به هر دو طرف سه سربار به جرم 5gr افزوده شد سپس یکی از این وزنه های 5gr سمت چپ را به سمت راست افزوده تا اختلاف جرم برابر 10gr شود. سپس دستگاه را آزاد کرده تا شروع به کرد کند. هم زمان با حرکت وزنه کرنومتر شروع به کار کرده و زمان رسیدن وزنه به سکوی پایین اندازه گیری شد و با توجه به معین بودن جا به جایی شتاب را بدست آورده شد و در جدول (2) یادداشت شد ( چون اختلاف وزن دو طرف نیرو حرکت را فراهم کرد پس mg اختلاف جرم برابر F می باشد که آن نیز در جدول (2) یادداشت شد). حال در هر مرحله بدون تغییر دادن محل سکوها یکی از وزنه های 5gr از چپ به سمت راست انتقال داده شد ودر هر مرحله موارد قبل محاسبه ویادداشت شد.(تا زمانی که دیگر وزنه ی 5gr سمت چپ نباشد).

3)      تحقیق قانون اول نیوتن:  برای اثبات این قانون باید ثابت بودن سرعت در صورتی که هیچ نیرویی وارد نشود را بررسی کنیم. برای اینکار یک سربار (در اینجا یک سر بار50gr مورد استفاده قرار گرفت، هرچند در محاسبات اهمیتی ندارد)در سمت راست قرار داده شد به گونه ای که با عبور وزنه سمت راست از حلقه سربار حذف شده و بر روی حلقه قرار گیرد.وزنه سمت راست را به فاصله 30cm از حلقه رها کرده و همزمان با رسید وزنه به حلقه و جدا شدن سربار از آن کرنومتر شروع به کار کرده و زمان رسیدن آن به سکوی پایینی ثبت و در جدول (3) ثبت شد . در مرحله بعد مکان سکوی پایینی برای چهار مرحله دیگر تغییر داده و مجدداً زمان ها در جدول (3) یادداشت شد. البته در هر مرحله فاصله دو سکو نیز در همان جدول یادداشت و با کمک رابطه (3) قسمت سوم جدول نیز پر شد.

 جداول:

جدول 1:

[cml_media_alt id='5165']9[/cml_media_alt]

جدول 2:

[cml_media_alt id='5166']10[/cml_media_alt]

جدول 3:

[cml_media_alt id='5167']11[/cml_media_alt]

محاسبات:
قسمت1)
مقدار جرمی که برای منظور کردن اصطکاک در نظر گرفته شد برابر است با:
mʻ=5 gr
قسمت2)
مقدار میانگین شتاب های جدول (1) را حساب کرده و با کمک رابطه (6) نیز شتاب را حساب کرده و مقایسه میکنیم:

[cml_media_alt id='5168']0[/cml_media_alt]

 

محاسبه شتاب قسمت (1) با کمک رابطه (6)داریم :

a=mg/m+mʻ+2M  →  a= 0.01*10/0.01+0.005+2*0.1=0.465  m/s2

همانطور که مشاهده میکنید این مقدار با شتاب میانگین بدست آمده از جدول (1) چندان تفاوت زیادی ندارد. (البته می توان گفت این تفاوت به دلیل خطای اندازه گیری می باشد).

در جدول (1) فقط کافیست برای تمامی مقادیر روش زیر را تکرار کرد:

a=2x/t2→  a1=2*0.06/(1.602) =0.47 m/s2

در جدول (2) ابتدا شتاب را محاسبه کرده (با کمک دو ردیف x و t) سپس نسبت مورد نظر را حساب می کنیم:

a1=2x/t2→   a1=2* 1.3/(2.32)=0.49 m/s2

F=mg  →F1= 0.01*10=0.1 N

F/að F1/a1=0.1/0.49=0.20 kgr

 این مقدار f/a برابر جرم سیستم می باشد که در اینجا برابر 235 گرم می باشد که با مقادیر این نسبت نسبتا برابر است پس می توان به عنوان ثابت کردن قانون دوم نیوتن از این رابطه بهره برد.

قسمت3)

 در جدول شماره (3) مقادیر را در رابطه (3) یا همان ردیف سوم جدول قرار دهیم:

V1=x1/t1    ð   v1=0.7/0.7=1 m/s

پرسشها:

1)      نمونه ای از قانون اول نیوتن را بیان کنید.

فرض کنید درون یک اتوبوس مسافر بری نشسته اید . ناگهان راننده ترمز می گیرد و چون شما در حال سکون نسبت به اتوبوس بوده اید، وچون طبق قانون اول می خواهید ساکن بمانید ناگهان به جلو پرتاب می شوید.

2)      آیا این فرض که کشش نخ (T) در طول ریسمان ثابت است صحیح است؟ توضیح دهید.

بله . اولاً در این آزمایش جرم نخ نادیده گرفته شده و ثانیاً اگر در هر نقطه از نخ مقدار کشش متفاوت باشد ، هر قسمت سعی در خنثی کردن نیروی دیگر قسمتهای نخ دارد پس همواره در سیستم جابه جایی و حرکت داریم(جابه جایی نخ) که این حالت تعادل در سیستم را نقص کرده و عملا نمی توان براحتی بر آیند نیروها را توسط دینامیک حساب کرد (زیرا هر نقطه از نخ کشش متفاوتی خواهد داشت).

3)      آیا فرض بدون جرم بودن قرقره فرض لازمی است؟ توضیح دهید.

بله. در غیر این صورت قرقره دارای گشتاور خواهد شد وباید گتاور آن نیز در محاسبات دخیل داده شود.

4)      با توجه به نتایج حاصل در آزمایشگاه فوق، خطای نسبی اندازه گیری زمان بیشتر است یا طول؟ نتیجه را تحلیل کنید.

برای داده اول در جدول یک محاسبه می کنیم:

Dt/t=0.1/2.6=1/26Dx/x=0.01/0.12=1/12

با توجه به عبارت بالا خطای نسبی x بیشتر است.

پس برای دقیق تر شدن محاسبات باید دقت اندازه گیری طول را افزایش دهیم. پس در اینجا هرچه دقت اندازه گیری زمان افزایش یابد چندان موثر نیست .

 

[/vip-members]

0

افزودن نظر